骰子機率總論_計算

骰子的概率總論_計算

骰子的概率總論_計算

前言

骰子的概率總論(1)
骰子的概率總論_計算

前面引子說得長了些,想必已有同學開始不耐煩,要大扔阿卜杜拉雞蛋了。不要急,馬上進入主題。不過,首先我們要做的,是界定我們討論的範圍和條件,即本文所涉及的概率方法均屬古典概率範疇。因此,本文後面所討論的骰子都符合下列假設:是質地均勻的正六面體、每面刻有從一到六的點數、相對兩面點數之和為七的中國式的骰子;此種骰子在擲出足夠多次數(例如大於10萬次)於水平、光滑、堅硬平面上時,其停止後必有一面朝上,且任意一面朝上的機率為1/6。也就是說,本文所討論的概率均是理想狀態下的情形。

好,接下來我們來計算幾個基本的情形,當然有同學若是厭煩於計算的過程,直接跳過看附表也可。

情形一:N個骰子擲出後,其中至少有一個骰子點數是指定的某數字(1~6)的概率

這是最基本骰子機率情形:

我們的計算方式也很基本,先算出N個骰子擲出後所有可能的排列組合數(我們設其為G(N)),然後計算「至少有一個骰子點數是某數」的可能的排列組合數(設之為F(N)),後者除以前者,即得概率P(N)=F(N)/G(N)。

先來看G(N),根據排列組合原理,N個骰子應有6^N(^為次冪表示符號,6^N即6的N次方)種排列組合,即G(N)=6^N。只有1個骰子時,所有排列組合數為G(1)=6^1=6種;有2個骰子時,G(2)=6^2=36;3個、4個和5個骰子時,分別共有216、1296和7776種排列組合可能。(參見附表一之第二列)

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再看F(N)。大家注意題目中的「至少」二字,也就是說2個以上骰子的情形時,我們會計入出現1個到N個的同樣骰子的概率(比如一共3個骰子,需要擲出至少1個六,我們會把出現1個六、2個六和3個六的情況都計算在內)。

本題的解算方法很多,這裡介紹簡單的一個:先計算本題的否命題,即只出現其他5個數字的所有可能情況數,很簡單,是5^(N)。所以用總排列組合數減之即得F(N)=6^(N)-5^(N)。(參見附表一第三列)

所以概率P(N)=F(N)/G(N)=[6^(N)-5^(N)]/[6^N]=1-(5/6)^(N),表一的第四列即列出1個到5個骰子時我們所需要的概率值。

情形二:N個骰子中,至少含有某2個指定數字中的1個

本題的意思是:骰子扔出前玩家先確定兩個數字(當然是1到6中的倆個),然後搖骰開盅,裡面的骰子中至少有一個骰子點數等於事先確定的兩個數字中的一個。

本題中,總排列組合數G2(N)仍為6^N;而F2(N)的計算方法同樣可參照上題中先計算否命題的方法,這次有F2(N)=6^(N)-4^(N)。概率P2(N)=F2(N)/G2(N)=[6^(N)-4^(N)]/[6^N]=1-(2/3)^(N)。具體不同個數骰子時的概率值參見附表二第四列。

有同學會問,若把本題擴展到「至少含有某2個指定數字中的2個」的情況時概率會怎樣呢?即玩家仍先確定兩個數字,然後求結果中至少有2個骰子的點數等於該兩個數字中的一個的概率。如我們先定下了1和2這兩個數字,那麼2個骰子中,出現1-1、1-2、2-1、2-2時即符合題意。這個引申題目的計算稍微複雜些,具體結果參見附表二的第五、六列。

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情形三:至少有2個骰子點數一樣

通俗地說,就是一把骰子里出現至少有一對骰子點數一樣的概率。

注意它的表述,「至少有一對」就是說隨便是什麼數字對都可以,對1、對2、對3、對4……都行,而不是「指定的某數字對」(如我們指定一定是對2出現)的概率,其實細心的同學可以發現,後者其實是前者概率的1/6。我們同樣運用否命題法,細看可知其為「所有骰子里沒有任意2個點數是相同的(即全是所謂散牌)」。這下好算了:F3否(N)=6!/[(6-N)!](!為自然數從自己逐次遞減1連乘最後到1的表示符號,如6!=6*5*4*3*2*1,2!=2*1),G3否(N)依然=6^N,所以P3否={6!/[(6-N)!]}/(6^N)。而用100%減去P3否,可得本題所求的概率:P3(N)=1-{6!/[(6-N)!]}/(6^N)。

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借用本題的結果,可以得到「至少有2個骰子的點數是指定的某數」的概率:P3(N)除以6即得。(參見附表三)

情形四:至少有3個骰子點數一樣

計算方法為6*[C(5,3)*(5^2)+C(5,4)*(5^1)+C(5,5)],結果見附表四。
(注:C(n,m)=n!/m!(n-m)!,其中n>=m)

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情形五:骰子擲出後,所有骰子點數之和的分布情況

參見附表五。具體算法俺就略過了,有興趣的同學可以自己研究一下。

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